Ехі(z)=Δхі→0 (Δх1 z/z : Δхі/хі)=хі/z хі'

Сонымен,  Ехі(z)- z = f(х1,х2,...,хп)       функциясының айнымалысы бойынша икемділігі болады.

Мысалы, z= в0 хв1 -ув2 Кобба-Дуглас функциясында Ех(z) = в1, Ех(z) = в2, яғни в1 мен в2 көрсеткіштері тек еңбек шығыны х немесе тек өндіріс қоры у шамаларының 1% өзгергенінде өндіріс шығаратын өнімнің шамамен қанша процентке өсетінін көрсетеді.

Пайдалылық функциясының дербес туындылары их,иу шектік пайдалылықтар деп аталып, Мих және Миу  таңбаларымен белгіленеді. Егер тауардың санын бағамен есептейтін болса, онда шектік    пайдалылықтарды осы тауарға түскен сұраныстың функциясы ретінде қарауға болады.

U(х,у)=а1/1-в1 х1-в1+а2/1-в2 у1-в2 тұрақты икемділік функциясының шектік пайдалылығын табайық. Сонда Мих – а1х-в1, Миу = а2х-в2, яғни әрбір тауар бағасының өсуіне байланысты сұраныс функциясы -   кемімелі функция, ал в1 мен в2 параметрлері осы тауарларға  сұраныстың  дербес икемділіктерін көрсетеді.

 Егер q сұранысын бірнеше айнымалылардың функциясы ретінде, мысалы, тауар бағасы р мен тұтынушылар табысы r шамаларының  функциясы q=(р,r) ретінде қараса, онда Ер (q) = р/q•qр  — сұраныстың бағаға байланысты дербес икемділігі, ал Еr(q)= r/q•q' сұраныстың табысқа байланысты дербес икемділігі болады. Сапасы жоғары тауарлар үшін Еr(q)>0, ал сапасы төмен тауарлар үшін Еr(q)< 0, өйткені табыс өскен сайын сапасы жоғары тауарларға сұраныс көбейеді де, ал сапасы — төмен тауарларға азаяды. Егер тауар сұранысын зерттеу кезінде басқа бір қосымша бағасы р, болатын альтернативтік тауардың әсерін ескеру керек болса, яғни сұранысты q=f(р, р1, r)болатын үш айнымалыға тәеулді функция  ретінде  қараса, онда  Ер1 (q) = р1/q •qр1' формуласымен анықталатын сұраныстың салыстырмалы икемділік коэффициентін қарау керек болады. Ол альтернативтік тауардың бағасы 1%-ға өзгергенде негізгі тауарға сұраныстың шамамен қанша пайызға өсетінін көрсетеді. Әрине, бірін-бірі ауыстыратын тауарлар үшін Ер1 (q)>0, өйткені бір тауардың бағасының өсуі, екінші тауарға сұранысты көбейтеді. Ал бірін-бірі толықтыратын тауарлар үшін Ер1(q) < 0, өйткені бұл жағдайда кез келген тауардың бағасының өсуі тауар сұранысын азайтуға соқтырады. Енді бірнеше айнымалы өндіріс функциясын сипаттайтын, экономика ғылымдарында маңызы зор икемділік коэффициентіне тоқталамыз. z=f(х,у) -өндіріс     функциясы,     ал     Мр(х)= fх (х,у) және Мр(у)=f'у(х,у)-  х  және у қорларына сөйкес шектік өнімдер болсын.

Жалпы   жағдайда   орналасу   икемділігінің   коэффициенті екі айнымалы функция болады. Оның изокванта нүктелерімен өрнектелуін қарайық, Изокванта бойында z=f(х,у) функциясы тұрақты болғандықтан, оның        толық  дифференциалы dz=f'xdх + f'уdу изокванта бойында нөлге тең болады. Осыдан –/dх=Мр(х)/Мр(у) теңдігі шығады. 

 Мұнда dу/ dх  — М(х,у)    нүктесінде    изокванта    жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті. Сондықтан 1/ŏху шамасы изоквантаның қисықтығын көрсетеді. Функция графигінің дөңестігі ұғымы да маңызды экономикалық заңдылықтарды түсіну үшін өте кажет. Ол кемімелі табыс және кемімелі шектік пайдалылық зандарын математикалық формула түрінде өрнектеуде қолданылады. 

 

Есептер шығару

1. Функцияларды зерттеп, графигін бір координаталық жазықтықта сал. 

f(х)-х2+5х+4

f(х)3х2-х3

2. f(х)х3-3х2+3х функциясын пайдаланып, өндіріс қоры 2% өзгергенінде өндіріс шығаратын өнімнің шамамен қанша процентке өсетінін тап.

3. «Егер тауардың санын бағамен есептейтін болса, онда шектік    пайдалылықтарды осы тауарға түскен сұраныстың функциясы ретінде қарауға болады» деген тұжырымдаманы қолданып, қандай да бір тауарды ал да, сұраныстың функциясын жаз.

28сабақ. Экономикалық зерттеулерде кездесетін кейбір екі айнымалы функциялар

Көптеген экономикалық құбылыстар екі айнымалы функциялардың деңгей сызықтары арқылы сипатталады. Ол сызықтар изокванттар деп аталады. х және у арқылы өндірістің әр түрлі факторлары, ал z = f(х, у) функциясы х пен у-тің мәндері себеп болатын өндіріс өнімі болсын. Изокванттар арқылы өнім көлемін азайтпай  отырып,  бір  фактордың санын азайту арқылы екінші фактордың санын көбейтуге болады. Осылай істеуге болатын (х,у) факторлар мәндерінің облысы экономикалық облыс деп аталады. Яғни ол бір факторды екінші  фактормен  ауыстыруға   болатын облыс. Изокванттар арқылы қорларды   тиімді үлестіру есебін шығаруға болады. Мысалы,   z=g(х,у) функциясы   х және у қорларын дайындауға кететін шығынды анықтайтын шығын функциясы болсын. Сонда өнім мен шығын функцияларының изокванттарын бірге зерттеу арқылы х және у факторларының тиімді мәнін тандап алуға болады. Осы екі сызықтардың жанасу нүктелерінің координаттары факторлардын тиімді мәндері болады. Пайдалылық функциясының деңгей сызықтары арқылы бір тауарды екінші   тауармен   тиімді  ауыстыру, яғни  тиімді  тұтыну есебін шығаруға болады. Талғаусыздық сызықтарының басқа қолданулары инвестиция   теориясында   пайда   болады.    Құнды   қағаздар қоржыны екі параметрмен сипатталады. Олар күтілген табыс – r және тәуелділік — ŏ.  Әрбір қоржынға (ŏ,r) координаттар жазығынан нүктені сәйкес қоюға болады,  сонда барлық қоржындар жиыны бір облысын береді. 

Дербес туындылар ұғымы да экономика ғылымдарында кеңінен қолданылады.

 

29сабақ. Функцияның икемділігін график арқылы көрсету

Икемділік ұғымы бізге экономикадан таныс. Бұл сұраныс пен ұсыныста қолданылады. 

U(х,у)=а1/1-в1 х1-в1+а2/1-в2 у1-в2 тұрақты икемділік функциясы екенін білеміз. Мих – а1х-в1, Миу = а2х-в2, яғни әрбір тауар бағасының өсуіне байланысты сұраныс функциясы - кемімелі функция, ал в1 мен в2 параметрлері осы тауарларға  сұраныстың  дербес икемділіктерін көрсетеді.

2x3 + x2 – 8x – 4 = 0                                                sin(2x) – lnx = 0

 

Есептер шығару

1. Тұтынушылар табысы r шамаларының  функциясы q=(18,9) ретінде қарастырып, Ер (q) = р/q•qр  — сұраныстың бағаға байланысты дербес икемділігі, ал Еr(q)= r/q•q' сұраныстың табысқа байланысты дербес икемділігін тап. Кесте құрып, график ретінде көрсет. 

 

32-33сабақ. Практикалық сабақ. Зерттеу жұмысы 

Оқушыларға берілетін зерттеу жұмыстарының кейбір тақырыптарының үлгілері: 

«Математика мен экономиканың сабақтастығы»

«Экономикалық есептер математика тілінде...»

«Сұраныс пен ұсыныс қисығының графигі»

«Экономикадағы математикалық модельдеу»