Сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйелері

11. Практикалық сабақ  тақырыбы: Сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйелері

Мақсаты:

Студенттерге сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесіне берілген есептерді шешу тәсілдерін үйрету.

Физикада, геометрияда, тұрмыста кездесетін есептерді дифференциалдық теңдеулердің көмегімен шешуге машықтандыру.

Математикада есеаптерді шешу кезінде жаңа сандық білімі беру ресустарын пайдалану біліктерін шыңдау

Жоспары:

Сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйелерін шешу.

Фундаменталь шешімдер жүйесі табуға  есеп шығару.

Көрнекілігі: проектор, Geogebra ортасы

Сабақ түрі: топтық жұмыс

Барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі.

ІІ. Өткенді қайталау (сұрақ-жауап)

Сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі дегеніміз не?

Қарапайым теңдеулер жүйелердің ең маңызды дербес түрі -сызықты жүйелер болып есептелінеді. Оның скалярлық түрдегі жазылуы төмендегідей болады:

Мұндағы, және f(x) функциялары кейбір (а,b) аралығында анықталған нақты үздіксіз функциялар деп қарастырылады.

Бұл жүйені былайша жазуға да болады:

Мұндағы, Р(t) =, (і,j =1,...,n) матрица, ал х пен f(x) - векторлар (бір бағаналы матрицалар).

Әдетте, f(x) - вектор-функцияны бос мүше деп атайды. Егер осы бос мүше нөлге тең болса, онда (1) - жүйенің орнына оның біртектісін аламыз:

(2)

Бос мүше нөлге тең болмағанда (1) жүйені (2) жүйенің сәйкес біртексіз деп атайды.

Сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесіндегі Коши есебі?

Сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйелері үшін Коши есебі мына түрде қойылады: барлық векторлардың ішінен

x(t₀)=x⁰,   t₀Î(a,b)

бастапқы шартын қанағаттандыратын шешімді табу керек. Мұндағы, х⁰ - берілген бастапқы вектор.

Сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесінінің қасиеттері?

Сызықты жүйелердің жалпы қасиеттері:

1⁰. Тәуелсіз    айнымалыны    үздіксіз   дифференциалданатын функция арқылы басқа бір тәуелсіз айнымалымен алмастырғаннан жүйенің сызықтығы өзгермейді.

2⁰.Белгісіз функцияны сызықты түрлендіргеннен жүйенің сызықтығы өзгермейді.

3. Төмендегідей біртекті сызықты теңдеулер жүйесін қарастырайық:

  (1)

Осы жүйенің шешімдерінің кейбір қасиеттерін келтірейік. Ең алдымен ескеретін жәй - біртекті жүйенің бастапқы Коши есебінің х(t₀) = 0шартын   қанағаттандыратын   нөлдік   х(t)=0шешімі барлық уақытта бар және ол шешім жалғыз.

 

 

Сызықтық дифференциалдықтеңдеулержүйесішешімініңсызықтыкомбинациясы?

Теорема-1.Егер j¹(t),… jⁿ(t)- вектор-функциялары (1) жүйенің шешімдері болса, олардың кез келген сызықты комбинациясы да сол жүйенің шешімі болады.

Сызықтықдифференциалдықтеңдеулержүйесініңнақтыжәнежорамалшешімдері?

 

Теорема-2. Егер (1) жүйенің комплексты j(t)=u(t)+iv(t) шешімі бар болса, онда оның нақты және жорамал бөліктері өз алдарына (1) жүйенің шешімін береді.

 

Сызықтықдифференциалдықтеңдеулержүйесініңсызықтытәуелділігі?

Анықтама-1.Егер (a,b) аралығында анықталған j¹(t),…jⁿ(t)функциялары үшін бәрі бірдей нөлге тең емес a₁,,..,a_nсандары табылып,

a₁j¹(t)+…+a_njⁿ(t) =0     (2)

теңдігі орындалса, онда берілген функциялар жиыны (а,b) аралығында сызықты тәуелді деп аталынады, ал (2) теңдік a₁,,..,a_nсандарының тек нөлдік мәндерінде ғана орындалса, онда берілген функциялар жиыны (а, b) аралығында сызықты тәуелсіз деп аталады.

Ескерту.Егер берілген функциялар жиыны (а, b) аралығында сызықты тәуелді болса, онда сол аралыққа жататын кез келген t₀Î(а, b) нүктесінде де тәуелді болады. Кері ұйғарым орындалмайды, өйткені бұл жағдайда a₁,,..,a_n сандары t₀ ға тәуелді болады. Ал егер берілген функциялар жиыны белгілі бір дифференциалдық теңдеулер жүйесінің шешімдері болса, онда бір нүктедегі тәуелділік пен тәуелсіздік сәйкес аралықтағы тәуелділік пен тәуелсіздікке эквивалент.

ІІ. Есептер шығару (топпен жұмыс)

1-есеп (1 топқа берілетін есеп)

Масса m болатын дене бастапқы жылдамдықсыз қандай да бір биіктіктен тігінен құлайды. Құлау кезінде дене өзінің жылдамдығының квадратына пропорционал болатын ауамен кедергі жасайды. Дененің қозғалыс заңын анықтаңыз.

Шешуі:

Материалдық нүктенің түзу сызықты қозғалысының t уақыт мезетіндегі лездік жылдамдығы v(t)=S`(t) , үдеу  a(t)=S``(t)

S – дененің жүрген жолы, жылдамдық,  үдеу.

Денеге келесі күштер әсер етеді;

Оның салмағы (қозғалыс бағыты бойынша) және ауаның кедергісі  (қозғалыс бағыты бойынша)

Ньютонның екінші заңы бойынша, дене қозғалысының келесі дифференциалдық теңдеуін аламыз.

немесе

Егер t=0, s=0,

ауыстырып

Егер t=0, онда  v=0,  =0

Осыдан;

- ға ауыстырсақ, s теңдеуін анықтайтын

Интегралдау арқылы

T=0 болған жағдайда S=0 болса, =0 дене жылдамдығының квадратына пропорционал болатын, ауаның кедергісінің T=0 болған жағдайда S=0 болса, =0 болатын болса, дененің құлау заңы келесі формуламен анықталады.

Қозғалыс жылдамдығы , мұндағы , Құлау жылдамдығы шексіз өспейді, өйткені  мұндағы P- дене салмағы, құлау жылдамдығы өзінің ақырғы шегіне жақын жетеді.

2-есеп (2-топқа берілетін есеп)

Радиусы нормалдың кубына тең болатын қисықты табу керек: Мұндағы қисық жанаманың М(0; 1) нүктесі арқылы өтетін және Ох осімен 45° бұрыш жасайтын болуы керек.

Шешуі: Жазық қисықтың радиусы  ,  ал нормал ұзындығы онда дифференциялдық теңдеуі  .

Бұдан   ке қысқару арқылы мына теңдікке келеміз деп алыпzүшін теңдеуін аламыз.

Интегралдау арқылы,   

тұрақтыны жанаманың  М(0; 1) нүктесінде Ох осімен 45°-те бұрыш жасайтынын ескере отырып немесе, онда .

Сонымен, анықтау үшін бірінші ретті теңдеу арқылы , мұндағы

Айнымалыларын бөліктеп, интегралдаймыз:

-ші қисықты М( 0; 1) нүктесінен өту арқылы анықтаймыз.

Ізделінді қисық

3-есеп (3 топқа берілетін есеп)

Бір-біріне  параллель сәулелерді бір нүктеге жинайтын айнаның пішінін анықтаңыз.

Шешуі:

Айнаның пішіні осі барлық түсетін сәулелердің бағыттары параллель болатын айналу денесінің пішіні сияқты болу керек. Бұл осьті Ох осі деп алып, айналу кезінде ізделінді бетті беретін y=f(x) қисығының теңдеуін анықтайық.

Координата басы ретінде барлық шағылысқан сәуле қиылысатын нүктені аламыз. КМ арқылы түсетін сәуле, МО шағылысқан сәуле. Ізделінді қиылысу М нүктесі арқылы нормалы мен  жанама жүргіземіз. Төбесі О болатын Сонда ОМТ теңбүйірлі үшбұрыш және содан ОМ=ОТ бірақ  ОМ= , ал ОТтеңдеуін табамыз. У=0  бұдан

Сөйтіп дифференциялық теңдеу аламыз.

Бұл біртектіx=ty аламыз.  у- аргумент, х- осы

ІІІ. Есептердің компьютерлік сызбалары. Компьютерлік сызбалар Geogebra ортасында орындалады.

1 есепсызбасы

2 есеп сызбасы

3 есепсызбасы

ІV. Сабақты пысықтау

Тест сұрақтары

Тест   бағдарламасында орындалады.

1. Теңдеудiң түрiн анықта:

 A) сызықтық

 B) бiртектi

 C) жалпылама бiртектi

D) Бернулли теңдеуi

E) толықдифференциалды

V. Сабақты қорытындылау.

VI. Үйге тапсырма

П.Е. Данко, А.Г. Попов «Высшая математика  в упражнениях и задачах» 780,781,782,783,784

Соңғы жарияланған материалдар тізімі

Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер Бір айнымалысы бар сызықтық теңдеу Бір айнымалысы бар сызықтық теңдеу Функцияның қасиеттерін пайдаланып теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу "Функциялар және графиктер" қолданбалы курсының авторлық бағдарламасы Толымсыз квадрат теңдеулер былай жазылады Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеудің графигі Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйелері. Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесін графиктік тәсілмен шешу Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйелері. Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесін алмастыру тәсілімен шешу

Бөлім: Уроки / Математика | Көрсетілім: 5960 | Қосты: Джакетова Сауле | Ілмек сөздер: