Екі жақты бұрыш

«Екі жақты бұрыш» тақырыбына есептерді жүйелеу                «Екі жақты бұрыш» тақырыбына есептерді жүйелеуЕкі жақты бұрыштар – стереометрия курсындағы ең маңызды тақырыптардың бірі.Екі жақты бұрыш пен оның сызықтық бұрышы ұғымын оқушылар жеңіл меңгергенімен стереометриялық есептерді шығарған кезде сызықтық бұрыштарды тауып немесе оны салу кезінде қателіктер жібереді. Бұл түсінікті қалыптастыруда формализмнен құтылу үшін, сызықтық бұрыштарды салудың дағдыларын қалыптастыру үшін екі жақты бұрыштарға байланысты әр түрлі есептерді жинақтап, оларды бір жүйеге енгіздім.Төмендегі есептер шартқа сәйкес төрт топқа бөлінген: 1. Суретте көрсетілген бұрыш сызықтық бұрыш екенін дәлелдеу.2. Суреттегі бірнеше бұрыштардың ішінен сызықтық бұрышты тауып, көрсете білу.3. Сызықтық бұрышты сала білу.4. Екі жақты бұрышты есептеп табуға арналған есептер.Бұл есептерді шығару барысында оқушылар бойында берілген екі жақты бұрыштардың сызықтық бұрыштарынсалу қалыптасып қана қоймайды, сонымен қатар әр түрлі түсініктерді, тік бұрышты үшбұрыштарды шешу тәсілдерін, аудандарды есептеу, фигураларды дұрыс кескіндей білуге машықтанады.Әдетте мұндай есептер дайын суреттер мен плакаттар бойынша да шығарылады. Бұл суреттерді карточкада кескіндеп жеке оқушымен жұмыс ретінде болмаса өз бетімен жұмыс ретінде пайдалануға да болады.Болмаса өте күрделі есептерді шығару барысында дайындық жұмысы ретінде де пайдалануға болады. Қазіргі көзбен қарағанда бұл жүйелеуді математикалық модельдеуге де жатқызуға болады.Бұл тақырыпты лекция түрінде өткізіп, талқылап, сосын есеп шығаруға қолданып, практикалық жұмыстармен аяқтауға болады.Есептердің  І-ші тобы:1. PABC – пирамида;  ∠ ACB=90˚,PB түзуі  ABC жазықтығына перпендикуляр. (1-сурет)PCB бұрышы – AC қырындағы екі жақты бұрыштың сызықтық бұрышы болатындығын дәлелдеу керек.2. PABC – пирамида;  AB=BCD – AC кесіндісінің ортасы. PB түзуі ABC жазықтығына перпендикуляр (2сурет)∠PDB – AC қырындағы екі жақты бұрыштың сызықтық бұрышы екендігін дәлелдеу керек.3. PABCD – пирамида.  PB түзуі  ABC жазықтығына перпендикуляр,   BK ⊥ DCPKB бұрышы – CD қырындағы екі жақтың бұрыштың сызықтың бұрышы екендігін дәлелдеу керек.(суреттер келесі бетте көрсетілген)Есептердің  ІІ-тобы1. PABC – пирамида, табаны – дұрыс үшбұрыш. Белгіленген бұрыштардың қайсысы AC қырындағы екі жақты бұрыщтың сызықтық бұрышы болады, егер:  а)D ¬– AC кесіндісінің ортасы,  PB түзуі  (ABC) жазықтығына перпендикуляр болса;(4 – сурет)ә) M – AC кесіндісінің ортасы, ON  BM || және PO ⊥ (ABC) болса; (5-сурет)2. PABC – пирамида; D – AC кесіндісінің ортасы,  PB ⊥  (ABC) (6- сурет)AC қырындағы екі жақты бұрыщтың сызықтық бұрышы PDB;  PAB; PKB болу үшін  ABC үшбұрышы қандай үшбұрыш болу керек?Есептердің  ІІІ-тобы   1. PABC пирамидасының  AC қырындағы екі жақты бұрышының сызықтық бұрышын сызықтық бұрышын салу керек, егер а)AB=BC, РС ⊥ (ABC) (7-сурет)ә)ABC жағы дұрыс үшбұрыш,  O – медианаларының қиылысу нүктесі  PO⊥ (ABC) болса; (8-сурет)Есептердің  ІV-тобы  1. PABC пирамида берілген.  AC қырындағы екі жақта бұрыштың шамасын табу керек. Егер: а)PB ⊥ (ABC), ∠C=90˚, BC=PB=4см (18-сурет)ә)PB⊥ (ABC), AB=BC=5см,  BP=AC=6см(7-сурет)б) ABC жағы – дұрыс үшбұрыш,  О нүктесі – AB кесіндісінің ортасы.AB=6см, ОP⊥ (ABC), ОР=4см(9-сурет)2. ABCD – тіктөртбұрыш,  BD=4√3 см, PB⊥ (ABC), PB=6см,  DC кесіндісіндегі  екі жақты бұрыш 60˚.Тіктөртбұрыш қабырғаларын табу керек (10-сурет)3. ABCD – тіктөртбұрыш, ауданы 49см²DC=4, PO⊥ (ABC), РО=6см.DC қырындағы екі жақты бұрыштың шамасын табу керек. (12-сурет)4. ABCD – ромб, BD=4см, PC⊥ (ABC), PC=8смBD қырындағы екі жақты бұрыш 45˚.Ромбының ауданын табу керек (13-сурет)5. ABC жағы – дұрыс үшбұрыш, О-АВ кесіндісінің ортасы, PO ⊥ (ABC) (9-сурет). AB қырындағы екі жақты бұрышты табу.6. ABCD тіктөртбұрыш берілген. Бұл жазықтықтан тыс P нүктесі берілген.  DC қырындағы екі жақты бұрыштың сызықтық бұрышын салу керек, егер: а) BP⊥ (ABC) болса; (10-сурет)ә) OЄAВ,  PO⊥ (ABC) (11-сурет)б) O – диагональдарының қиылысу нүктесі,  PO⊥ (ABC) болса; (12-сурет)7. ABCD ромбысы берілген. PC⊥(ABC).BD қырындағы екі жақты бұрыштың сызықтық бұрышын салу(13-сурет)8. AD қырындағы екі жақты бұрыштың сызықтық бұрышын салу керек, егер:а) ABCD – трапеция, ∠BAD=90˚,  PB⊥(ABC) (14-сурет)ә) ABCD – трапеция, ∠BAD=90˚, OЄ[BC], PO⊥ (ABC) (15-сурет)б) ABCD – тең бүйірлі трапеция,  BP⊥ (ABC) (16-сурет)в) ABCD – тең бүйірлі трапеция, PB⊥ (ABC)(17-сурет)